Условия независимости интеграла от пути интегрирования. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования потенциальное поле вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле вычисление потенциала в декартовых координатах. Условия незав

Лекция 4

Тема: Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Формула Грина.

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутому контуру Г на плоскости и двойным интегралом по области, ограниченной данным контуром.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру Г обозначается символом Замкнутый контур Г начинается в некоторой точке В этого контура и заканчивается в точке В. Интеграл по замкнутому контуру не зависит от выбора точки В.

Определение 1 . Обход контура Г считается положительным, если при обходе контура Г область D остаётся слева. Г + - контур Г обходится в положительном направлении, Г - - контур обходится в отрицательном направлении т.е. в противоположном направлении

Г +

X= x 1 (y)

X= x 2 (y)

Y= y 2 (x)

Y= y 1 (x)

Рассмотрим двойной интеграл

Аналогично доказывается, что:

Из равенств (1) и (2) получаем:

Следовательно,

Формула Грина при сделанных предположениях доказана.

Замечание 1 . Формула Грина остаётся справедливой, если граница Г области D некоторыми прямыми, параллельными оси 0Х или 0Y пересекается более чем в двух точках. Кроме этого формула Грина справедлива и для n-связных областей.

Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования на плоскости.

В этом параграфе выясним условия, при выполнении которых криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, а зависит от начальной и конечной точек интегрирования.

Теорема 1 . Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области необходимо и достаточно, чтобы этот интеграл, взятый по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру в этой области равнялся нулю.

Доказательство: Необходимость. Дано: не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что криволинейный интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю.

Пусть в рассматриваемой области D взят произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур Г. На контуре Г возьмем произвольные точки B и C.

Так как не зависит от пути интегрирования, то

, т.е.

Достаточность . Дано: Криволинейный интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру равен нулю.

Требуется доказать, что интеграл не зависит от пути интегрирования.

Рассмотрим криволинейный интеграл по двум кусочно-гладким контурам, соединяющим точки B и С. По условию:

Т.е. криволинейный

интеграл не зависит от пути интегрирования.

Теорема 2. Пусть непрерывны вместе с частными производными и в односвязной области D. Для того, чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования необходимо и достаточно, чтобы в области D выполнялось тождество

Доказательство: Достаточность. Дано: . Требуется доказать, что не зависит от пути интегрирования. Для этого достаточно доказать, что равен нулю по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру. По формуле Грина имеем:

Необходимость. Дано: По теореме 1 криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Требуется доказать, что

Определение. Область G трехмерного пространства называется поверхностно односвяз-ной. если на любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно натянуть поверхность, целиком лежащую в области G. Например, внутренность сферы или все трехмерное пространство являются поверхностно односвязлыми областями; внутренность тора или трехмерное пространство, иа которого исключена прямая, поверхностно односвязными областями не являются. Пусть в поверхностно односвязной области G задан о непрерывное векторное поле Тогда имеет место следующая теорема. Теорема 9 .Для того чтобы криволинейный интеграл в поле вектора а не зависел от пути интегрирования, а зависел только от начальной и конечной точек пути (А и В), необходимо и достаточно, чтобы циркуляция вектора а вдоль любого замкнутого контура L, расположенного в области G, была равна нулю. 4 Необходимость. Пусть и т-еграл не зависит от пути интегрирования. Покажем, что тогда по любому замкнугому контуру L равен нулю. Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в поле вектора а и возьмем на нем произвольно точки А и В (рис.35). По условию имеем - различные пути, соединяющие точни А и В\откуда как раз и есть выбранный зам!«утый контур L. Достаточность. Пусть для любого замкнутого контура L. Покажем, что в этом случае интеграл не зависит от пути интегрирования. Возьмем в поле вектора а две точки А и В, соединим их произвольными линиями L] и Ьг и покажем, что Для простоты ограничимся случаем, когда линии L\ и L2 не пересекаются. В этом случае объединение образует простой замкнутый контур L (рис. 36). По условию а по свойству аддитивности. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования Потенциальное поле Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле Вычисление потенциала в декартовых координатах Следовательно, откуда справедливость равенства (2) и вытекает. Теорема 9 выражает необходимое и достаточное условия независимости криволинейного интеграла от формы пути, однако эти условия трудно проверяемы. Приведем более эффективный критерий. Теорема 10. Для того, чтобы криволинейный.интеграл не зависел от пути интегрирования L, необходимо и достаточно, чтобы векторное поле было безвихревым, Здесь предполагается, что координаты) вектора а(М) имеют непрерывные частные производные первого порядка и область определения вектора а(М) поверхностно односвязна. Замечание. В силу теоремы 9 независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования равносильна равенству нулю циркуляции век тора а вдоль любого замкнутого контура. Это обстоятельство мы используем при доказательстве теоремы. Необходимость. Пусть криволинейный интеграл не зависит от формы пути, или, что то же, циркуляция вектора а по любому замкнутому контуру L равна нулю. Тогда т. е. в каждой точке поля проекция вектора rot а на любое направление равна нулю. Это означает, что сам вектор rot а равен нулю во всех точках поля, Достаточность. Достаточность условия (3) вытекает из формулы Стокса, так как если rot а = 0, то и циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна нулю: Ротор плоского поля равен что позволяет сформулировать для плоского поля следующую теорему. Теорема 11. Для того, чтобы криволинейный интеграл в односвязном плоском поле не зависел от формы линии L, необходимо и достаточно, чтобы соотношение выполнялось тождественно во всей рассматриваемой области. Если область неодносвязна, то выполнение условия вообще говоря, не обеспечивает независимости криволинейного интеграла от формы линии. Пример. Пусть Рассмотрим интеграл Ясно, что подынтегральное выражение не имеет смысла в точке 0(0,0). Поэтому исключим эту точку. В остальной части плоскости (это будет уже не односвязная область!) координаты вектора а непрерывны, имеют непрерывные частные производные и Рассмотрим интеграл (6) вдоль замкнутой кривой L - окружности радиуса R с центром в начале координат: Тогда Отличие циркуляции от нуля показывает, что интеграл (6) зависит от формы пути интегрирования. §10. Потенциальное поле Определение. Поле вектора а(М) называется потенциальным, если существует скалярная функция и(М) такая, что При этом функция и(М) называется потенциалом поля; ее поверхности уровня называются эквипотенциальными поверхностями. то соотношение (1) равносильно следующим трем скалярным равенствам: Заметим, что потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого: если следовательно, - постоянное число. Пример 1. Поле радиус-вектора г является потенциальным, так как напомним, что Потенциалом поля радиус-вектора является, следовательно. Пример 2. Поле вектора является потенциальным. Пусть функция такая, что найдена. Тогда и откуда Значит, - потенциал поля. Теорема 12. Для того чтобы паче вектора а было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т. е. чтобы его ротор равнялся нулю во всех точках поля. При этом предполагается непрерывность всех частных производных от координат вектора а и поверхностная односвязность области, в которой задан вектор а. Необходимость. Необходимость условия (2) устанавливается непосредственным подсчетом: если поле потенциально, т. е. в силу независимости смешанных производных от порядка дифференцирования. Достаточность. Пусть поле вектора безвихревое (2). Для того чтобы доказать потенциальность этого поля, построим его потенциал и(М). Из условия (2) следует, что криволинейный интеграл не зависит от формы линии L, а зависит только от ее начальной и конечной точек. Зафиксируем начальную точку а конечную точку Му, z) будем менять. Тогда интеграл (3) будет функцией точки. Обозначим эту функцию через и(М) и докажем, что В дальнейшем будем записывать интеграл (3), указывая лишь начальную и конечную точку пути интегрирования, Равенство равносильно трем скалярным равенствам Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования Потенциальное поле Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле Вычисление потенциала в декартовых координатах Докажем первое из них, второе и третье равенст ва доказываются аналогично. По определению частной производной имеем Рассмотрим точку, близкую к точке Так как функция и(М) определяется соотношением (4), в котором криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то выберем путь интегрирования так, как указано нарис.37. Тогда Отсюда Последний интеграл берется моль отрезка прямой ММ), параллельной оси Ох. На этом отрезке в качестве параметра можно принять координату ж: Применяя к интегралу в правой части (6) теорему о среднем, получаем где величина £ заключена между. Из формулы (7) вытекает, что Так как то в силу непрерывности функции получаем Аналогично доказывается, что Следствие. Векторное поле является потенциальным тогда и только тогда, когда криво линейный интеграл в нем не зависит от пути. Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле Теорема 13. Интеграл в потенциальном поле а(М) равен разности значений потенциала и(М) поля в конечной и начальной точках пути интегрирования, Ранее был о доказано, что функция является потенциалом поля. В потенциальном поле криволинейный интефал не зависит от пуги интефирования. Поэтому, выбирая путь отточки М\ к точке М2 так, чтобы он прошел через точку Afo (рис. 38), получаем или, меняя ориентацию пути в первом интефале справа, Так как потенциал поля определяется с точностью до постоянного слагаемого, то любой потенциал рассматриваемого поля можетбыть записан в виде где с - постоянная. Делая в формуле (10) замену и- с, получим для произвольного потенциала v(M) требуемую формулу Пример 3. В примере 1 было показано, что потенциалом поля радиус-вектора г является функция где - расстояние от точки до начала координат. Вычисление потенциала в декартовых координатах Пусть задано потенциальное поле Ранее было показано, что потенциальная функция «(М) может быть найдена по формуле Интеграл (11) удобнее всего вычислять так: зафиксируем начальную точку и соединим ее с достаточно близкой текущей точкой М(х, y,z) ломаной, звенья которой параллельны координатным осям, . При этом на каждом звене ломаной изменяется только одна координата, что позволяет существенно упростить вычисления. В самом деле, на отрезке М0М\ имеем: На отрезке. Рис. 39 . На отрезке. Следовательно, потенциал равен где - координаты текущей точки на звеньях ломаной, вдоль которых ведется интегрирование. Пример 4. Доказать, что векторное поле к является потенциальным, и найти его потенциал. 4 Проверим, будет ли поле вектора a(Af) потенциально. С этой це/ью вычислим ротор поля. Имеем Поле является потенциальным. Потенциал этого поля найдем с помощью формулы (12). Возьмем за начальную точку Л/о начало координат О (так обычно поступают, если поле а(М) определено в начале координат). Тогда получим Итак, где с - произвольная постоянная. Потенциал этого поля можно найти и по-иному. По определению потенциал и(х, у, z) есть скалярная функция, для которой gradu = а. Это векторное равенство равносильно трем скалярным равенствам: Интегрируя (13) по х, получим где - произвольная дифференцируемая функция ог у и г. Продифференцируем по у: Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования Потенциальное поле Вычисление криволинейного интеграла в потенциальном поле Вычисление потенциала в декартовых координатах Проинтегрировав (17) по у, найдем - некоторая функция z. Подставив (18) в (16), получим. Дифференцируя последнее равенство no z и учитывая соотношение (15), получим уравнение для откуда

Рассмотрим криволинейный интеграл

взятый по некоторой плоской кривой L , соединяющей точки М и N . Будем предполагать, что функции Р(х, у) и Q(x, y) имеют непрерывные частные производные в рассматриваемой области D . Выясним, при каких условиях написанный криволинейный интеграл не зависит от формы кривой L , а зависит только от положения начальной и конечной точек М и N .

Рассмотрим две произвольные кривые MPN и MQN , лежащие в рассматриваемой области D и соединяющие точки М и N . Пусть

(1)

Тогда на основании свойств 1 и 4 криволинейных интегралов имеем:

т.е. интеграл по замкнутому контуру L

В последней формуле криволинейный интеграл взят по замкнутому контуру L , составленному из кривых MPN и NQM . Этот контур L можно, очевидно, считать произвольным.

Таким образом, из условия:

что для любых двух точек М и N криволинейный интеграл не зависит от формы соединяющей их кривой, а зависит только от положения этих точек, следует, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю .

Справедливо и обратное заключение:

если криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю, то этот криволинейный интеграл не зависит от формы кривой, соединяющей две любые точки , а зависит только от положения этих точек . Действительно, что из равенства (2) следует равенство (1)

Теорема

Пусть во всех точках некоторой области D функции Р(х, у), Q(x, y) вместе со своими частными производными и непрерывны. Тогда, для того, чтобы криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в этой области, был равен нулю, т.е. чтобы

(2΄)

необходимо и достаточно выполнение равенства

во всех точках области D.

Доказательство

Рассмотрим произвольный замкнутый контур L в области D и для него напишем формулу Грина:

Если выполняется условие (3), то двойной интеграл, стоящий слева, тождественно равен нулю и, следовательно,

Таким образом, достаточность условия (3) доказана.

Докажем теперь необходимость этого условия, т.е. докажем, что если равенство (2) выполняется для любой замкнутой кривой L в области D , то в каждой точке этой области выполняется условие (3).

Допустим, напротив, что равенство (2) выполняется, т.е.

а условие (3) не выполняется, т.е.

хотя бы в одной точке. Пусть, например, в некоторой точке имеем неравенство

Так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то она будет положительна и больше некоторого числа во всех точках некоторой достаточно малой области , содержащей точку . Возьмем двойной интеграл в этой области от разности . Он будет иметь положительное значение. Действительно,

Но по формуле Грина левая часть последнего неравенства равна криволинейному интегралу по границе области , который, по предположению равен нулю. Следовательно, последнее неравенство противоречит условию (2), и значит, предположение, что отлично от нуля хотя бы в одной точке, не верно. Отсюда вытекает, что

во всех точках данной области D .

Таким образом, теорема полностью доказана.

При изучении дифференциальных уравнений было доказано, что выполнение условия

равносильно тому, что выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал некоторой функции u(x, y) , т.е.

Но в этом случае вектор

есть градиент функции u(x, y) ;

Функция u(x, y) , градиент которой равен вектору , называется потенциалом этого вектора.

Докажем, что в этом случае криволинейный интеграл по любой кривой L, соединяющей точки М и N, равняется разности значений функции и в этих точках:

Доказательство

Если Рdx + Qdy является полным дифференциалом функции u(x, y) , то и криволинейный интеграл примет вид

Для вычисления этого интеграла напишем параметрические уравнения кривой L , соединяющей точки М и N :

Выражение, стоящее в скобках, есть функция от t , являющаяся полной производной от функции по t . Поэтому

Как мы видим, криволинейный интеграл от полного дифференциала не зависит от формы кривой, по которой производится интегрирование .

Таким образом:

условия независимости криволинейных интегралов II рода от формы пути интегрирования следующие:

Если в некоторой области P(x, y) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими и , то:

1. в области D не зависит от формы пути интегрирования, если его значения по всевозможно кусочно-гладким кривым , лежащим в данной области и, имеющим общее начало и общий конец одинаковы.

2. интеграл вдоль всякой замкнутой кривой L , лежащей в области D равен нулю.

3. существует такая функция u(x, y) , для которой выражение Pdx + Qdy есть полный дифференциал, т.е.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du .

4. в данной области выполнялось бы условие

в каждой точке области D .

Для вычисления интеграла, не зависящего от контура интегрирования

следует выбрать в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования ломаную, соединяющую точки и , звенья которой параллельны осям Ох и Оу.

Подынтегральное выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy при указанных условиях являются полным дифференциалом некоторой функции u= u(x, y) т.е.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

Функцию u(x, y) (первообразную) можно найти, если вычислить соответствующий криволинейный интеграл по ломаной где - любая фиксированная точка, В(х, у) – переменная точка, а точка - имеет координаты х и . Тогда вдоль имеем и dy = 0 , а вдоль имеем x = const и dx = 0 .

Получаем следующую формулу:

Аналогично, интегрируя по ломаной где получим

Примеры

1. Вычислить

Данный интеграл не зависит от контура интегрирования, т.к.

Выберем в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой параллельны осям координат. На первом участке:

На втором участке:

Следовательно,

2. Найти первообразную u , если

Пусть и контуром К является ломаная OMN . Тогда

3. Найти , если

Здесь начальную точку в начале координат взять нельзя, т.к. в этой точке функции Р(х, у) и Q(x, y) не определены, а потому за начальную точку возьмем, например, . Тогда

4. Найти площадь, ограниченную эллипсом

Площадь фигуры, расположенной в плоскости ХОУ и ограничена замкнутой линией С, вычисляется по формуле

где контур С обходим в положительном направлении.

Преобразуем криволинейный интаграл в определенный, произведя замену

Параметр t пробегает значения от 0 до 2π.

Таким образом

3. Высичлить криволинейный интеграл по длине дуги L, если L – это арка циклоиды

ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ “КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ”

Вариант 1

Где L – отрезок прямой точки A (0;-2) и B (4;0) принадлежащие плоскости XOY.

вдоль ломаной L:OAB, где O(0,0), A(2,0), B(4,5). Обход контура против часовой стрелки.

По координатам, если L – дуга эллипса лежащая в I-й четверти.

Где L – контур треугольника с вершинами A(1,1), B(2,2), C(1,3). Обход контура против часовой стрелки.

, и найти его.

7. Силовое поле образовано силой F(x,y), равной расстоянию точки ее приложения от начала координат и направленной в начало координат. Найти работу силы поля, затраченную на перемещение материальной точки единичной массы по дуге параболы y 2 =8x от точки (2;4) до точки (4;4 ).

Вариант 2

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – отрезок прямой соединяющей точки О (0;0) и А (1;2).

2. Вычислить криволинейный интеграл , если L – дуга параболы от точки A(-1;1) до точки B(1,1). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга окружности лежащая в 1 и 2 квадратах. Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл , где L – контур, образованный линией и отрезком оси OX при Обход контура против часовой стрелки.

5. Установить, выполняется ли условие независимости интеграла от пути интегрирования для интеграла , и найти его.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. В каждой точке силового поля сила имеет направление отрицательной полуоси ординат и равна квадрату абсциссы точки приложения. Найти работу поля при перемещении единичной массы по параболе от точки (1,0) до точки (0,1).

Вариант 3

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

1. где L – дуга параболы отсеченная параболой .

2. Вычислить криволинейный интеграл если L- отрезок прямой, соединение точки А(0,1), В(2,3). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга первой арки циклоиды .Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – эллипс Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки вдоль верхней половины эллипса из точки А (а,0), в точку В (-а, 0).

Вариант 4.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

1. где L – контур квадрата

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга параболы точки А(0,0), до точки В (1,1). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – верхняя половина эллипса Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур треугольника с вершинами А (1;0), В (1;1), С (0,1). Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. В каждой точке окружности приложена сила , прекциями которой на оси координат являются Определить работу силы при перемещении материальной точки по окружности. Почему работа равна нулю?

Варивнт 5.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – отрезок прямой, соединяющий точки 0 (0,0), и А (4;2)

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга кривой соединяющей точки А(0,1), до точки В (-1,е). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – 1-я четверть окружности Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур, ограниченный и Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Поле образованно силой / / = направление которое составляет угол с направлением радиус – вектора точки ее приложения. Найти работу поля при перемещении материальной точки массы m по дуге окружности из точки (а,0) в точку (0,а).

Вариант 6.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – четверть окружности лежащая в I квадранте.

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – ломанная АВС, А(1;2), В (1;5), C(3;5). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – верхняя половина окружности Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур, ограниченный , Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Найти работу упругой силы , направленной к началу координат, если точка приложения силы описывает против часовой стрелки четверть эллипса лежащую в Iквадранте. Величина этой силы пропорциональна удалению точки от начала координат.

Вариант 7.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L –часть параболы от точки (1, 1/4) до точки (2;1).

2. Вычислить криволинейный интеграл где L – отрезок прямой, соединяющей точки В(1;2) и В (2;4). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – первая арка циклоиды Обход контура по часовой стрелке.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Материальная точка единичной массы перемещается по окружности под действием силы , проекциями которой на координате оси является . Построить силу в начале каждой окружности. Найти работу по контуру.

Вариант 8.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – контур прямоугольника с вершинами в точках 0 0(0;0), А (4;0), В (4;2), С (0;2).

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга параболы от точки А (0;0) до точки В (1;2). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – часть окружности лежащая в квадрате 1. Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур треугольника с вершинами А (0;0), В (1;0), С (0;1).Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. Материальная точка перемещается по эллипсу под действием силы , величина которой равна расстоянию точки до центра эллипса и направлена к центру эллипса. Вычислить работу силы , если точка обходит весь эллипс.

Вариант 9.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L – дуга параболы лежащая между точками

А , В (2;2).

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – отрезок прямой, соединяющей точки А(5;0) и В(0,5). Обход контура против часовой стрелки.

3. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга эллипса между точками, соответствующими Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – окружность Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. В каждой точке кривой приложена сила , проекциями которой на оси координат являются Определить работу силы при перемещении материальной точки единичной массы по кривой из точки М(-4;0) в точку N (0;2).

Вариант 10.

1. Вычислить криволинейный интеграл по длине дуги (декартовые координаты).

Где L –отрезок прямой, соединяющей точки А

2. Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга кривой от точки А(1;0) до В(е,5). Обход контура против часовой стрелки.

3.Вычислить криволинейный интеграл если L – дуга окружности лежащей в 1У квадрате. Обход контура по часовой стрелке.

4. Применяя формулу Грина, вычислить интеграл где L – контур треугольника с вершинами А (1;0), В (2;0), С (1;2). Обход контура против часовой стрелки.

6. Проверить, является ли заданное выражение полным дифференциалом функции U(x,y), и найти ее.

7. В каждой точке линии приложена сила , проекции которой на координатные оси Вычислите работу, совершенную силой при перемещении материальной точки по линии из М(1;0) в точку N (0;3).

6. Формула среднего значения для определенного интеграла.

7. Интеграл с переменным верхним пределом. Его непрерывность и дифференцируемость.

8. Формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла.

9. Вычисление определенного интеграла по частям и заменой переменной.

10. Применение определенного интеграла (площадь плоской фигуры, длина дуги кривой, объем тела вращения).

11. Понятие числового ряда и его суммы. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости.

12. Признаки Деламбера и Коши сходимости рядов с неотрицательными членами.

13. Интегральный признак Коши сходимости числового ряда.

14. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

15. Функциональный ряд. Сумма ряда. Определение равномерной сходимости ряда. Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда.

16. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

18. Степенной ряд. Теорема Абеля.

19. Радиус сходимости степенного ряда. Формула Коши-Адамара для радиуса сходимости степенного ряда.

21. Функции многих переменных. Понятие n-мерного евклидового пространства. Множество точек евклидового пространства. Последовательность точек и ее предел. Определение функции нескольких переменных.

22. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Частные производные.

23. Определение дифференцируемой функции нескольких переменных и ее дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков.

24. Формула Тейлора для функции многих переменных. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

25. Двойной интеграл и его свойства. Сведение двойного интеграла к повторному.

27. Замена переменных в тройном интеграле. Цилиндрические и сферические координаты.

28. Вычисление площади гладкой поверхности, заданной параметрически и в явном виде.

29. Определение криволинейных интегралов первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.

30. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

31. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.

32. Теорема Гаусса-Остроградского, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

33. Формула Стокса, ее запись в координатной и векторной (инвариантной) формах.

34. Скалярное и векторное поля. Градиент, дивергенция, ротор. Потенциальное и соленоидальное поля.

35. Оператор Гамильтона. (набла) его применение (примеры).

36. Основные понятия, относящиеся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (оду) первого порядка: общее и частное решения, общий интеграл, интегральная кривая. Задача Коши, ее геометрический смысл.

37. Интегрирование оду первого порядка с разделяющимися переменными и однородных.

38. Интегрирование линейных оду первого порядка и уравнения Бернулли.

39. Интегрирование оду первого порядка в полярных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

40. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Метод введения параметра.

41. Уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений (фср) однородного уравнения, общее решение неоднородного уравнения.

42. Система линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Фср однородной системы. Общее решение однородной системы.

30. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

Формула Грина: Если C – замкнутая граница области D и функции P(x,y) и Q(x,y) вместе со своими частными производными первого порядканепрерывны в замкнутой области D (включая границу C), то справедлива формула Грина:, причем обход вокруг контура C выбирается так, что область D остается слева.

Из лекций: Пусть заданы функции P(x,y) и Q(x,y), которые непрерывны в области D вместе с частными производными первого порядка. Интеграл по границе (L), целиком лежащий в области D и содержащий все точки в области D: . Положительное направление контура такое, когда ограниченная часть контура находится слева.

Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования. Необходимым и достаточным условием того, что криволинейный интеграл первого рода, соединяющий точки M1 и M2, не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек, является равенство:.

31. Поверхностные интегралы первого и второго рода, их основные свойства и вычисление.

– задание поверхности.

Спроектируем S на плоскость xy, получим область D. Разобьём область D сеткой линий на части, называемые Di. Из каждой точки каждой линии проведём параллельные z линии, тогда и S разделится на Si. Составим интегральную сумму: . Устремим максимум диаметра Di к нулю:, получим:

Это поверхностный интеграл первого рода

Так считается поверхностный интеграл первого рода.

Определение вкратце. Если существует конечный предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения S на элементарные участки Si и от выбора точек, то он называется поверхностным интегралом первого рода.

При переходе от переменных x и y к u и v:

Поверхностный интеграл обладает всеми свойствами обычного интеграла. См. в вопросах выше.

Определение поверхностного интеграла второго рода, его основные свойства и вычисление. Связь с интегралом первого рода.

Пусть задана поверхность S, ограниченная линией L (рис. 3.10). Возьмём на поверхности S какой-нибудь контур L, не имеющий общих точек с границей L. В точке М контура L можно восстановить две нормали ик поверхности S. Выберем какое-либо одно из этих направлений. Обводим точку M по контуру L с выбранным направлением нормали.

Если в исходное положение точка M вернётся с тем же направлением нормали (а не с противоположным), то поверхность S называют двусторонней. Мы будем рассматривать только двусторонние поверхности. Двусторонней поверхностью является всякая гладкая поверхность с уравнением .

Пусть S – двусторонняя незамкнутая поверхность, ограниченная линией L, не имеющей точек самопересечения. Выберем определённую сторону поверхности. Будем называть положительным направлением обхода контура L такое направление, при движении по которому по выбранной стороне поверхности сама поверхность остаётся слева. Двусторонняя поверхность с установленным на ней таким образом положительным направлением обхода контуров называется ориентированной поверхностью.

Перейдём к построению поверхностного интеграла второго рода. Возьмём в пространстве двустороннюю поверхность S, состоящую из конечного числа кусков, каждый из которых задан уравнением вида или является цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz.

Пусть R(x,y,z) – функция, опредёленная и непрерывная на поверхности S. Сетью линий разбиваем S произвольным образом на n "элементарных" участков ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек. На каждом участке ΔSi произвольным образом выберем точку Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Пусть (ΔSi)xy – площадь проекции участка ΔSi на координатную плоскость Оху, взятая со знаком "+", если нормаль к поверхности S в точке Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) образует с осью Oz острый угол, и со знаком "–", если этот угол тупой. Составим интегральную сумму для функции R(x,y,z) по поверхности S по переменным x,y: . Пусть λ – наибольший из диаметров ΔSi (i = 1, ..., n).

Если существует конечный предел , не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек, то он называется поверхностным интегралом по выбранной стороне поверхности S от функции R(x,y,z) по координатам х, у (или поверхностным интегралом второго рода) и обозначается.

Аналогично можно построить поверхностные интегралы по координатам x, z или у, z по соответствующей стороне поверхности, т. е. и.

Если существуют все эти интегралы, то можно ввести "общий" интеграл по выбранной стороне поверхности: .

Поверхностный интеграл второго рода обладает обычными свойствами интеграла. Заметим лишь, что любой поверхностный интеграл второго рода изменяет знак при перемене стороны поверхности.

Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.

Пусть поверхность S задана уравнением: z = f(x,y), причем f(x,y), f"x(x,y), f"y(x,y) - непрерывные функции в замкнутой области τ (проекции поверхности S на координатную плоскость Оху), а функция R(x,y,z) непрерывна на поверхности S. Нормаль к поверхности S, имеющая направляющие косинусы cos α, cos β, cos γ, выбрана к верхней стороне поверхности S. Тогда .

Для общего случая имеем:

Пусть дано плоское векторное поле . В дальнейшем мы будем предполагать, что функции Р и Q непрерывны вместе со своими производными и в некоторой области О плоскости

Рассмотрим в области G две произвольные точки Эти точки можно соединить различными линиями, лежащими в области вдоль которых значения криволинейного интеграла вообще говоря, различны.

Так, например, рассмотрим криволинейный интеграл

и две точки . Вычислим этот интеграл, во-первых, вдоль отрезка прямой , соединяющей точки А и В, и, во-вторых, вдоль дуги параболы соединяющей эти же точки. Применяя правила вычисления криволинейного интеграла, найдем

а) вдоль отрезка

б) вдоль дуги параболы:

Таким образом, мы видим, что значения криволинейного интеграла зависят от пути интегрирования, т. е. зависят от вида линии, соединяющей точки А и В. Наоборот, как нетрудно проверить, криволинейный интеграл вдоль тех же линий , соединяющих точки дает одно и то же значение, равное .

Разобранные примеры показывают, что криволинейные интегралы, вычисленные по различным путям, соединяющим две данные точки, в одних случаях различны между собой, а в других случаях принимают одно и то же значение.

Пусть А и В - две произвольные точки области G. Рассмотрим различные кривые, лежащие в области G и соединяющие точки А и В.

Если криволинейный интеграл по любому из этих путей принимает одно и то же значение, то говорят, что он не зависит от пути интегрирования.

В следующих двух теоремах приводятся условия, при которых криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Теорема 1. Для того чтобы криволинейный интеграл в некоторой области G не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, был равен нулю.

Доказательство. Достаточность.

Пусть интеграл по любому замкнутому контуру, проведенному в области G, равен нулю. Покажем, что этот интеграл не зависит от пути интегрирования. В самом деле, пусть А и В две точки, принадлежащие области G. Соединим эти точки двумя различными, произвольно выбранными кривыми лежащими в области G (рис. 257).

Покажем, что дуги образуют замкнутый контур Учитывая свойства криволинейных интегралов, получим

так как . Но по условию как интеграл по замкнутому контуру.

Следовательно, или Таким образом, криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Необходимость. Пусть в области G криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Покажем, что интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равен нулю. В самом деле, рассмотрим произвольный замкнутый контур, лежащий в области G, и возьмем на нем две произвольные точки А я В (см. рис. 257). Тогда

так как по условию . Итак, интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в области G, равен нулю.

Следующая теорема дает удобные для практического использования условия, при соблюдении которых криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Теорема 2.

Для того чтобы криволинейный интеграл не зависел от пути интегрирования в односвязной области необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие

Доказательство. Достаточность. Пусть в области Покажем, что криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в области G, равен нулю. Рассмотрим площадку а, ограниченную контуром L. В силу односвязности области G площадка а целиком принадлежит этой области. На основании формулы Остроградского-Грина частности, на площадке Поэтому а следовательно, . Итак, интеграл по любому замкнутому контуру L в области G равен нулю. На основании теоремы 1 заключаем, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Необходимость. Пусть криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования в некоторой области Q. Покажем, что во всех точках области

Предположим противное, т. е. что в некоторой точке области Пусть для определенности . В силу предположения о непрерывности частных производных и разность будет непрерывной функцией. Следовательно, около точки можно описать круг а (лежащий в области G), во всех точках которого, как и в точке разность будет положительной. Применим к кругу формулу Остроградского-Грина.